例子
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54和24的最大公因數是多少？
數字54可以表示為幾組不同正整數的乘積：
54
=
1
×
54
=
2
×
27
=
3
×
18
=
6
×
9
{\displaystyle 54=1\times 54=2\times 27=3\times 18=6\times 9}
故54的正因數為
1
,
2
,
3
,
6
,
9
,
18
,
27
,
54
{\displaystyle 1,2,3,6,9,18,27,54}
。
同樣地，24可以表示為：
24
=
1
×
24
=
2
×
12
=
3
×
8
=
4
×
6
{\displaystyle 24=1\times 24=2\times 12=3\times 8=4\times 6}
故24的正因數為
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
8
,
12
,
24
{\displaystyle 1,2,3,4,6,8,12,24}
。
這兩組數列中的共同元素即為54和24的公因數：
1
,
2
,
3
,
6
{\displaystyle 1,2,3,6}
其中的最大數6即為54和24的最大公因數，記為：
gcd
(
54
,
24
)
=
6
{\displaystyle \gcd(54,24)=6}
互質數
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如果兩數的最大公因數為1，那麼這兩個數互質。例如，9和28就是互質數。
幾何角度的說明
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24乘60的矩形被十個12乘12的正方形格子完全覆蓋，即12為24和60的最大公因數。推而廣之，如果c是a和b的最大公因數，那麼a乘b的矩形就可以被若干個邊長為c的正方形格子完全覆蓋。
假設有一個大小為24乘60的矩形區域，這個區域可以按照不同的大小劃分正方形網格：1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此，12是24和60的最大公因數。大小為24乘60的矩形區域，可以按照12乘12的大小劃分正方形網格，一邊有兩格（
24
12
=
2
{\displaystyle {\frac {24}{12}}=2}
）、另一邊有五格（
60
12
=
5
{\displaystyle {\frac {60}{12}}=5}
）。